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隨著自由曲面的大量應用，現代制造業對五軸機床的需求越來越大。五軸機床按照結構的不同可分為雙轉臺式、轉臺加擺軸式、萬能主軸頭式等幾種形式。萬能主軸頭型數控機床的兩個回轉軸都位于主軸上，由于萬能主軸頭相對于其他類型的主軸增加了兩個旋轉軸，使其運動誤差大大增加，誤差來源量之間的關系也變得更加復雜。

近年來，對各種類型的五軸機床進行誤差建模成為研究的熱點。比如，上海交通大學的張宏韜對雙轉臺型五軸機床進行了誤差建模研究，天津大學的商鵬對擺頭加轉臺型的五軸機床進行了誤差建模研究。對于萬能主軸頭型數控機床，國際標準ISO 10791-6提出了其運動精度的球面運動檢測方案。K.M.MudithADassanayake在此方案的基礎上提出了通過觀測方程識別其十項靜態誤差的方法。

   

上述研究中都是使用齊次變換矩陣(HTM)對五軸機床進行誤差建模，它依賴于大量的矩陣乘法運算，運算量大，其誤差模型的物理意義很難理解。本文針對萬能主軸頭型五軸機床進行建模研究，通過優化坐標系設置，提出一種簡化建模方法，其數學表達式簡單，物理意義明確。

   

1 主軸頭運動坐標系的建立

   

萬能主軸頭型臥式機床的結構如圖1所示。

   

由于本文只研究萬能主軸頭的誤差建模問題，為防止引入其他誤差，測量時，保持X、Y和Z軸不動，只有主軸頭的A軸和C軸做旋轉運動。根據機床結構，建立機床各部分組件的坐標系，如圖2所示。

   

首先建立機床參考坐標系F(OF-XFYFZF)。因為只有主軸頭的A軸和C軸運動，X、Y、Z軸沒有運動，所以我們可以把X、Y、Z軸看作和機床床身是一體的。為簡化坐標變換，我們以靜止時的C軸中心線和A軸中心線的交點O(即初始狀態下名義C軸和名義A軸的交點)上建立參考坐標系F(OF-XFYFZF)。很顯然，我們可以在OF上同時建立C軸名義坐標系C(Oc-XcYcZc)。這樣，C坐標系對F坐標系就只有旋轉變換，而沒有位移變換，誤差變換方程相對簡單。但是，我們卻不能在OF上同時建立A軸坐標系。因為A軸在運動鏈上是C軸的下一環，C軸的運動會影響名義A軸的位置。如圖2所示，A軸名義中心線和C軸中心線的交點變動到了Oc''的位置。我們只能在這個變動后的交點上建立A軸名義坐標系(OA-XAYAZA)，這樣，A坐標系對C''坐標系也只有旋轉變換，而沒有位移變換。圖2中，A軸和C軸的名義坐標系用虛線表示，實際坐標系用實線表示。

 

由以上過程可知，所有的5 個坐標系都是建立在C軸中心線和A軸中心線的交點上，只不過這個交點因為C軸和A軸的不同運動狀態而產生了3個不同的位置。因此，運動鏈刀具環坐標系建立的過程可用“一個交點、3種狀態、5個坐標系”來概括。一個交點，即兩個旋轉軸中心線的交點O。3種狀態分別指兩個軸都靜止、C軸運動而A軸靜止、兩個軸都運動。交點O 在這3 種狀態下的位置是不同的，在這3個不同的位置處建立5個運動坐標系。

   

2 主軸頭空間誤差建模

   

機床運動鏈由刀具環和工件環組成，萬能主軸頭型機床的運動誤差主要在刀尖點環，詳細分析如下。

   

2.1 刀具環誤差分析

   

從刀具環運動傳遞的順序來看，各坐標系的運動傳遞關系是：

 

按照刀具環運動傳遞的順序，誤差建模包括位置描述、坐標映射、旋轉變換和微分變換等過程，具體如下：

   

1)位置描述

   

刀尖點的位置在刀具環末端坐標系A''中被描述。刀尖點在A''中的名義位置是A''TN，受熱誤差影響，誤差矢量表示為A''δT,N(t)。由此，我們就可以得到刀尖點的實際位置在末端坐標系A''中的描述，即

    

設刀尖點到參考點的距離為L。則

    

在高速旋轉時，刀具熱誤差對空間誤差作用顯著，不可忽略。表示為

    

2)運動變換

   

因為所建立的5個坐標系全部都在不同狀態下C軸中心線和A軸中心線的交點上，所以，所有的運動變換可由微分變換和旋轉變換來完成。

  

首先考慮刀尖點位置從運動鏈末端坐標系A''向A坐標系的變換。這是一個微分變換，由微分移動變換和微分轉動變換組成，可表示為

 

其中，Aδ(α)為擺頭A繞X軸轉過α角時產生的誤差矢量，是A'' 坐標系的對A坐標系的微分移動矢量，可表示為

 

而AA''R表示A軸實際坐標系相對于自身名義坐標系的微分轉動變換，基于小角度假設，AA''R可表示為

     

同理，刀尖點位置從C''坐標系到C坐標系的變換可表示為

    

式中：Cδ(γ)為轉臺C繞Z 軸轉過α角時產生的誤差矢量。

    

CC''R是C軸實際坐標系相對于自身名義坐標系的微分轉動變換，可表示為

    

最后，考慮兩坐標系之間只有旋轉變換而沒有平移變換的情況。根據本文第二節中的分析可知，我們在OF上建立C軸名義坐標系(OC-XCYCZC)，在OC''上建立A軸名義坐標系(OA-XAYAZA)，所以在坐標變換中我們有兩個   旋轉算子C''AR和FCR。

  

C''AR為A繞X 軸轉過α角時的旋轉算子，可表示為

     

同理，CFR為繞C軸轉過γ角時的旋轉算子，可表示為

     

由以上分析，可得刀尖點在參考坐標系的位置矢量為

    

2.2 工件環誤差分析

  

雖然確定了參考坐標系，但工件的位置常用工作臺上的坐標系表示。在工作臺中心位置設立X坐標系。X坐標系和F坐標系之間無相對運動，只有位置關系。工件的安裝誤差可通過對刀等方式消除，忽略不計。  

根據平移變換原理，有

    

式中：FPOX是指X坐標系原點在F坐標系中的位置矢量。隨著數控機床誤差測量和補償技術的進步，直線運動軸的誤差越來越容易辨識和消除，而且相比之下，旋轉軸誤差要比直線軸誤差顯著得多。所以，工件環中的誤差可予以忽略。

  

2.3 主軸頭空間誤差計算

  

由萬能主軸頭引起的空間誤差可用刀尖點位置矢量和工件位置矢量的差值表示為

   

至此，我們完成了對五軸機床萬能主軸頭的誤差建模。

  

3 實例研究

  

針對圖2所示的萬能主軸頭型五軸機床，推導出刀具的位置誤差和方向誤差的公式為

    

4 結束語

  

針對五軸數控機床的萬能主軸頭進行了空間誤差建模研究，考慮了主軸頭兩個旋轉軸的運動誤差和主軸熱誤差對機床空間精度造成的影響。根據萬能主軸頭結構特點，提出了“一個交點、3種狀態、5個坐標系”的坐標系設置方法，降低了誤差模型的復雜性。通過坐標系的微分變換和旋轉變換，建立了萬能主軸頭的空間誤差模型，并結合實例，推導出了刀具的位置誤差和方向誤差的公式，為進一步進行萬能主軸頭誤差辨識和誤差補償奠定了理論基礎。